B-albero

In questo tutorial imparerai cos'è un B-tree. Inoltre, troverai esempi funzionanti di operazioni di ricerca su un albero B in C, C ++, Java e Python.

B-tree è un tipo speciale di albero di ricerca autobilanciato in cui ogni nodo può contenere più di una chiave e può avere più di due figli. È una forma generalizzata dell'albero di ricerca binario.

È anche noto come albero m-way bilanciato in altezza.

B-albero

Perché B-tree?

La necessità di B-tree è nata con l'aumento della necessità di minor tempo per accedere al supporto di archiviazione fisico come un disco rigido. I dispositivi di archiviazione secondari sono più lenti con una capacità maggiore. C'era bisogno di tali tipi di strutture dati che riducessero al minimo gli accessi al disco.

Altre strutture di dati come un albero di ricerca binario, un albero avl, un albero rosso-nero, ecc. Possono memorizzare solo una chiave in un nodo. Se è necessario memorizzare un numero elevato di chiavi, l'altezza di tali alberi diventa molto grande e il tempo di accesso aumenta.

Tuttavia, B-tree può memorizzare molte chiavi in ​​un singolo nodo e può avere più nodi figlio. Ciò riduce notevolmente l'altezza consentendo accessi più rapidi al disco.

Proprietà B-tree

  1. Per ogni nodo x, le chiavi vengono memorizzate in ordine crescente.
  2. In ogni nodo, c'è un valore booleano x.leaf che è vero se x è una foglia.
  3. Se n è l'ordine dell'albero, ogni nodo interno può contenere al massimo n - 1 chiavi insieme a un puntatore a ciascun figlio.
  4. Ogni nodo eccetto root può avere al massimo n figli e almeno n / 2 figli.
  5. Tutte le foglie hanno la stessa profondità (cioè altezza-h dell'albero).
  6. La radice ha almeno 2 elementi secondari e contiene un minimo di 1 chiave.
  7. Se n ≧ 1, allora per ogni B-tree n-chiave di altezza h e grado minimo t ≧ 2, .h ≧ logt (n+1)/2

Operazioni

Ricerca

La ricerca di un elemento in un albero B è la forma generalizzata di ricerca di un elemento in un albero di ricerca binario. Vengono seguiti i passaggi seguenti.

  1. Partendo dal nodo radice, confronta k con la prima chiave del nodo.
    If k = the first key of the node, restituisce il nodo e l'indice.
  2. If k.leaf = true, restituisce NULL (cioè non trovato).
  3. Se k < the first key of the root node, cerca ricorsivamente il figlio sinistro di questa chiave.
  4. Se è presente più di una chiave nel nodo corrente e k> the first key, confronta k con la chiave successiva nel nodo.
    Se k < next key, cerca il figlio sinistro di questa chiave (cioè k si trova tra la prima e la seconda chiave).
    Altrimenti, cerca il figlio giusto della chiave.
  5. Ripetere i passaggi da 1 a 4 fino a raggiungere l'anta.

Esempio di ricerca

  1. Cerchiamo la chiave k = 17nell'albero sottostante del grado 3. B-albero
  2. k non si trova nella radice, quindi confrontalo con la chiave radice. k non si trova sul nodo radice
  3. Da allora k> 11, vai al figlio destro del nodo radice. Vai alla sottostruttura a destra
  4. Confronta k con 16. Poiché k> 16, confronta k con la chiave successiva 18. Confronta con i tasti da sinistra a destra
  5. Poiché k < 18, k è compreso tra 16 e 18 anni. Cerca nel bambino destro di 16 anni o nel bambino sinistro di 18 anni.
  6. k è trovato. k è trovato

Algoritmo per la ricerca di un elemento

 BtreeSearch(x, k) i = 1 while i ≦ n(x) and k ≧ keyi(x) // n(x) means number of keys in x node do i = i + 1 if i n(x) and k = keyi(x) then return (x, i) if leaf (x) then return NIL else return BtreeSearch(ci(x), k)

Per ulteriori informazioni sulle diverse operazioni dell'albero B, visitare

  • Inserimento su B-tree
  • Cancellazione su B-tree

Esempi di Python, Java e C / C ++

Python Java C C ++ 
# Searching a key on a B-tree in Python # Create node class BTreeNode: def __init__(self, leaf=False): self.leaf = leaf self.keys = () self.child = () class BTree: def __init__(self, t): self.root = BTreeNode(True) self.t = t # Print the tree def print_tree(self, x, l=0): print("Level ", l, " ", len(x.keys), end=":") for i in x.keys: print(i, end=" ") print() l += 1 if len(x.child)> 0: for i in x.child: self.print_tree(i, l) # Search key def search_key(self, k, x=None): if x is not None: i = 0 while i x.keys(i)(0): i += 1 if i  = 0 and k(0)  = 0 and k(0)  x.keys(i)(0): i += 1 self.insert_non_full(x.child(i), k) # Split def split(self, x, i): t = self.t y = x.child(i) z = BTreeNode(y.leaf) x.child.insert_key(i + 1, z) x.keys.insert_key(i, y.keys(t - 1)) z.keys = y.keys(t: (2 * t) - 1) y.keys = y.keys(0: t - 1) if not y.leaf: z.child = y.child(t: 2 * t) y.child = y.child(0: t - 1) def main(): B = BTree(3) for i in range(10): B.insert_key((i, 2 * i)) B.print_tree(B.root) if B.search_key(8) is not None: print("Found") else: print("Not found") if __name__ == '__main__': main()   
 // Searching a key on a B-tree in Java public class BTree ( private int T; // Node creation public class Node ( int n; int key() = new int(2 * T - 1); Node child() = new Node(2 * T); boolean leaf = true; public int Find(int k) ( for (int i = 0; i < this.n; i++) ( if (this.key(i) == k) ( return i; ) ) return -1; ); ) public BTree(int t) ( T = t; root = new Node(); root.n = 0; root.leaf = true; ) private Node root; // Search key private Node Search(Node x, int key) ( int i = 0; if (x == null) return x; for (i = 0; i < x.n; i++) ( if (key < x.key(i)) ( break; ) if (key == x.key(i)) ( return x; ) ) if (x.leaf) ( return null; ) else ( return Search(x.child(i), key); ) ) // Splitting the node private void Split(Node x, int pos, Node y) ( Node z = new Node(); z.leaf = y.leaf; z.n = T - 1; for (int j = 0; j < T - 1; j++) ( z.key(j) = y.key(j + T); ) if (!y.leaf) ( for (int j = 0; j = pos + 1; j--) ( x.child(j + 1) = x.child(j); ) x.child(pos + 1) = z; for (int j = x.n - 1; j>= pos; j--) ( x.key(j + 1) = x.key(j); ) x.key(pos) = y.key(T - 1); x.n = x.n + 1; ) // Inserting a value public void Insert(final int key) ( Node r = root; if (r.n == 2 * T - 1) ( Node s = new Node(); root = s; s.leaf = false; s.n = 0; s.child(0) = r; Split(s, 0, r); insertValue(s, key); ) else ( insertValue(r, key); ) ) // Insert the node final private void insertValue(Node x, int k) ( if (x.leaf) ( int i = 0; for (i = x.n - 1; i>= 0 && k  = 0 && k x.key(i)) ( i++; ) ) insertValue(x.child(i), k); ) ) public void Show() ( Show(root); ) // Display private void Show(Node x) ( assert (x == null); for (int i = 0; i < x.n; i++) ( System.out.print(x.key(i) + " "); ) if (!x.leaf) ( for (int i = 0; i < x.n + 1; i++) ( Show(x.child(i)); ) ) ) // Check if present public boolean Contain(int k) ( if (this.Search(root, k) != null) ( return true; ) else ( return false; ) ) public static void main(String() args) ( BTree b = new BTree(3); b.Insert(8); b.Insert(9); b.Insert(10); b.Insert(11); b.Insert(15); b.Insert(20); b.Insert(17); b.Show(); if (b.Contain(12)) ( System.out.println("found"); ) else ( System.out.println("not found"); ) ; ) ) 
// Searching a key on a B-tree in C #include #include #define MAX 3 #define MIN 2 struct BTreeNode ( int val(MAX + 1), count; struct BTreeNode *link(MAX + 1); ); struct BTreeNode *root; // Create a node struct BTreeNode *createNode(int val, struct BTreeNode *child) ( struct BTreeNode *newNode; newNode = (struct BTreeNode *)malloc(sizeof(struct BTreeNode)); newNode->val(1) = val; newNode->count = 1; newNode->link(0) = root; newNode->link(1) = child; return newNode; ) // Insert node void insertNode(int val, int pos, struct BTreeNode *node, struct BTreeNode *child) ( int j = node->count; while (j> pos) ( node->val(j + 1) = node->val(j); node->link(j + 1) = node->link(j); j--; ) node->val(j + 1) = val; node->link(j + 1) = child; node->count++; ) // Split node void splitNode(int val, int *pval, int pos, struct BTreeNode *node, struct BTreeNode *child, struct BTreeNode **newNode) ( int median, j; if (pos> MIN) median = MIN + 1; else median = MIN; *newNode = (struct BTreeNode *)malloc(sizeof(struct BTreeNode)); j = median + 1; while (j val(j - median) = node->val(j); (*newNode)->link(j - median) = node->link(j); j++; ) node->count = median; (*newNode)->count = MAX - median; if (pos val(node->count); (*newNode)->link(0) = node->link(node->count); node->count--; ) // Set the value int setValue(int val, int *pval, struct BTreeNode *node, struct BTreeNode **child) ( int pos; if (!node) ( *pval = val; *child = NULL; return 1; ) if (val val(1)) ( pos = 0; ) else ( for (pos = node->count; (val val(pos) && pos> 1); pos--) ; if (val == node->val(pos)) ( printf("Duplicates are not permitted"); return 0; ) ) if (setValue(val, pval, node->link(pos), child)) ( if (node->count < MAX) ( insertNode(*pval, pos, node, *child); ) else ( splitNode(*pval, pval, pos, node, *child, child); return 1; ) ) return 0; ) // Insert the value void insert(int val) ( int flag, i; struct BTreeNode *child; flag = setValue(val, &i, root, &child); if (flag) root = createNode(i, child); ) // Search node void search(int val, int *pos, struct BTreeNode *myNode) ( if (!myNode) ( return; ) if (val val(1)) ( *pos = 0; ) else ( for (*pos = myNode->count; (val val(*pos) && *pos> 1); (*pos)--) ; if (val == myNode->val(*pos)) ( printf("%d is found", val); return; ) ) search(val, pos, myNode->link(*pos)); return; ) // Traverse then nodes void traversal(struct BTreeNode *myNode) ( int i; if (myNode) ( for (i = 0; i count; i++) ( traversal(myNode->link(i)); printf("%d ", myNode->val(i + 1)); ) traversal(myNode->link(i)); ) ) int main() ( int val, ch; insert(8); insert(9); insert(10); insert(11); insert(15); insert(16); insert(17); insert(18); insert(20); insert(23); traversal(root); printf(""); search(11, &ch, root); )
// Searching a key on a B-tree in C++ #include using namespace std; class TreeNode ( int *keys; int t; TreeNode **C; int n; bool leaf; public: TreeNode(int temp, bool bool_leaf); void insertNonFull(int k); void splitChild(int i, TreeNode *y); void traverse(); TreeNode *search(int k); friend class BTree; ); class BTree ( TreeNode *root; int t; public: BTree(int temp) ( root = NULL; t = temp; ) void traverse() ( if (root != NULL) root->traverse(); ) TreeNode *search(int k) ( return (root == NULL) ? NULL : root->search(k); ) void insert(int k); ); TreeNode::TreeNode(int t1, bool leaf1) ( t = t1; leaf = leaf1; keys = new int(2 * t - 1); C = new TreeNode *(2 * t); n = 0; ) void TreeNode::traverse() ( int i; for (i = 0; i traverse(); cout << " " 
 search(k); ) void BTree::insert(int k) ( if (root == NULL) ( root = new TreeNode(t, true); root->keys(0) = k; root->n = 1; ) else ( if (root->n == 2 * t - 1) ( TreeNode *s = new TreeNode(t, false); s->C(0) = root; s->splitChild(0, root); int i = 0; if (s->keys(0) C(i)->insertNonFull(k); root = s; ) else root->insertNonFull(k); ) ) void TreeNode::insertNonFull(int k) ( int i = n - 1; if (leaf == true) ( while (i>= 0 && keys(i)> k) ( keys(i + 1) = keys(i); i--; ) keys(i + 1) = k; n = n + 1; ) else ( while (i>= 0 && keys(i)> k) i--; if (C(i + 1)->n == 2 * t - 1) ( splitChild(i + 1, C(i + 1)); if (keys(i + 1) insertNonFull(k); ) ) void TreeNode::splitChild(int i, TreeNode *y) ( TreeNode *z = new TreeNode(y->t, y->leaf); z->n = t - 1; for (int j = 0; j keys(j) = y->keys(j + t); if (y->leaf == false) ( for (int j = 0; j C(j) = y->C(j + t); ) y->n = t - 1; for (int j = n; j>= i + 1; j--) C(j + 1) = C(j); C(i + 1) = z; for (int j = n - 1; j>= i; j--) keys(j + 1) = keys(j); keys(i) = y->keys(t - 1); n = n + 1; ) int main() ( BTree t(3); t.insert(8); t.insert(9); t.insert(10); t.insert(11); t.insert(15); t.insert(16); t.insert(17); t.insert(18); t.insert(20); t.insert(23); cout << "The B-tree is: "; t.traverse(); int k = 10; (t.search(k) != NULL) ? cout << endl << k << " is found" : cout << endl << k << " is not Found"; k = 2; (t.search(k) != NULL) ? cout << endl << k << " is found" : cout << endl << k << " is not Found"; )

Ricerca della complessità sull'albero B.

Caso peggiore Complessità temporale: Θ(log n)

Complessità temporale media del caso: Θ(log n)

Complessità temporale del caso migliore: Θ(log n)

Complessità media dello spazio del caso: Θ(n)

Caso peggiore Complessità dello spazio: Θ(n)

B Tree Applications

  • database e file system
  • memorizzare blocchi di dati (supporto di memorizzazione secondario)
  • indicizzazione multilivello

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